求曲面的切平面方程（曲面上的曲线，以及曲线上的切线）

曲面的切平面

给出一个曲面的参数方程：

• r[u_, v_] := {x[u, v], y[u, v], z[u, v]};

那么，当u为变量，而v为定值的时候，r[u, v] 就变成了一条曲线，这条曲线恰好就是曲面的网格线里面的u曲线。

同样的，当v为变量，而u为定值的时候，r[u, v] 就变成了曲面的网格线里面的v曲线。

以如下曲面为例：

• r[u_, v_] := {Cos[u] Cos[v]^2, Cos[u] Sin[v]^2, Sin[u] Cos[v]}

• ParametricPlot3D[r[u, v], {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, Pi}]

我们隐藏这个曲面的网格线：

• ParametricPlot3D[r[u, v], {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, Pi}, Mesh -> None]

单独把u曲线族绘制出来：

单独把v曲线族绘制出来：

把u曲线族和v曲线族画到一起：

这样，｛u，v｝ 就确定了曲面上每一个点的坐标，由此可以看出，三维空间里的曲面，其实是二维曲面。这里顺便提一下，庞加莱大猜想里面提到的三维球面，指的是四维空间里面四维球体的边界。

看一下，曲面上 "原点" 的位置在哪里：

• Show[ParametricPlot3D[r[u, v], {u, 0, 2 Pi}, {v, 0, Pi}, Mesh -> None],Graphics3D[{Red, PointSize -> 0.05, Point[r[0, 0]]}]]

可以看到，曲面的 "原点" 在边缘线上。注意，如果是封闭的曲面，就没有所谓的边缘线了。

绘制一条过原点的u曲线：

画出这条u曲线在原点的切向量：

在上图的基础上，加上一条过原点的v曲线：

注意看这条v曲线，其实是折线段，而原点恰好位于折点的位置，所以没有切向量。

没有了v曲线的切向量，也就没有了曲面在原点处的切平面。

我们需要找一个有切平面的点，就不能是边缘线上的点，也不能是尖点。

碰碰运气，看看点 ｛1/2 + \[Pi], \[Pi]/3｝ 的位置：

这个点应该存在切平面了吧。先画出过这个点的u曲线和v曲线在该点的切向量：

再画出过这个点的另一条曲线：

可以看到，这条粉色曲线七拐八绕，很复杂，它也过点 ｛1/2 + \[Pi], \[Pi]/3｝，而且在这个点上也有切向量：

可以证明，这三个向量是共面的：

Det[{D[r[u, Pi/3], u] /. u -> 1/2 + Pi,

D[r[1/2 + Pi, v], v] /. v -> Pi/3,

D[r[u, v] /. u -> 3 v + 1/2, v] /. v -> Pi/3}]

运行结果是0。

注意：虽然三维空间里的曲面都属于而二维曲面，但是作为三维空间的子元素，曲面上每一个点都保留了三维的属性。